|
Изучение нелинейных динамических систем и теории сложности есть изучение турбулентности. Точнее, это изучение перехода от устойчивости к турбулентности. Такие переходы мы можем наблюдать повсюду вокруг нас. Мы видим их в струйке сигаретного дыма, которая дробится на вихри и рассеивается. Они случаются, когда мы добавляем сливки в кофе или кипятим воду для спагетти. Однако переходы такого рода – от устойчивости к турбулентному состоянию – не поддаются моделированию с помощью стандартной ньютоновской физики. Последняя может предсказать, где будет находиться Марс через триста лет, но не способна спрогнозировать погоду на послезавтра. Как это может быть?
Ньютоновская физика основана на линейных отношениях. Это предполагает, что:
— каждая причина имеет прямое следствие;
— все системы стремятся к равновесию;
— природа упорядочена.
Величайший символ ньютоновской физики – часы. Их части с высокой точностью подогнаны друг к другу с тем, чтобы в согласии вести к предсказуемому результату. Ньютоновская физика была основным достижением XVIII столетия, «Века разума», времени классицизма в искусстве, эры Моцарта и Гайдна. Симметрия и уравновешенность определяли живопись, музыку, архитектуру и науку Века разума.
Ньютон дал нам огромное знание. Его физическая теория и расчеты, которые он выполнил в целях ее обоснования, остаются одним из основных достижений человеческого ума.
С помощью математики мы, наконец, смогли понять, каким образом природа управляет телами и как взаимодействуют эти тела.
Это, однако, стало пределом. Ньютоновская физика могла объяснить, как взаимодействуют два тела, но неспособна предсказать взаимодействие трех тел. Этот недостаток обнаруживается, когда мы посылаем зонды к другим планетам. Когда зонд запущен, ученые устанавливают для него траекторию таким образом, чтобы она приводила его в назначенное место. Если цель – планета Марс, например, они не шлют зонд туда, где Марс находится в данный момент, но шлют туда, где он будет по предсказанию астрономов, использующих ньютоновскую физическую теорию. На этом пути зонда проводится ряд коррекций траектории. Почему? Если ньютоновская физика совершенна, то ее предсказания не нуждаются в коррекциях, разве что тех, которые обязаны вычислительным ошибкам. Но коррекции необходимы, потому что ньютоновская физика не может предсказывать абсолютно точно движение в системе, состоящей более чем из двух тел, а солнечная система как раз такова.
Проблема системы трех тел занимала ученых еще в XIX веке. В итоге Пуанкаре утверждал, что эта проблема не имеет единственного решения, поскольку системе присущи нелинейности. Пуанкаре (1908) объяснил, почему эти нелинейности так важны:
«Незначительная причина, укрывшаяся от нашего внимания, порождает значительный эффект, который мы не можем предвидеть, и тогда мы говорим, что этот эффект случаен, – может случиться так, что маленькая разница в начальных условиях продуцирует большое различие в конце явления. Малая ошибка на предшествующем этапе создает огромную ошибку впоследствии. Предсказание становится невозможным...»
Этот эффект называется теперь «чувствительная зависимость от начальных условий»; он стал важной характеристикой динамических систем. Динамическим системам присуща непредсказуемость в долговременной перспективе.
Эта непредсказуемость обусловлена двумя причинами. Динамические системы являются системами с обратной связью. Входные данные системы в преобразованном виде снова попадают на ее вход, и так до бесконечности. Системы с обратной связью очень похожи на сложные проценты, если не считать экспоненциального преобразования; они имеют показатель, больший единицы. Разность начальных величин возрастает по экспоненте. Мы увидим это позже на некоторых примерах.
Вторая характеристика сложных систем включает в себя концепцию критических уровней. Классический пример – «соломинка, переломившая верблюжью спину». Если на спину верблюда добавлять ношу, то в конце концов наступает момент, когда верблюд не может вынести большего веса. И тогда добавленная соломинка убивает его. Этот внезапный коллапс есть нелинейная реакция, поскольку не существует прямой связи между гибелью верблюда и этой соломинкой. Накопленный весовой эффект в итоге превосходит верблюжью выносливость (ее критический уровень) и приводит к коллапсу.
Описанная выше струйка сигаретного дыма также имеет критический уровень. В отсутствие сквозняка в комнате струя дыма от сигареты будет подниматься вверх, потом внезапно свернется в кольца и рассеется. Что случилось? Дым поднимается и ускоряется. Как только его скорость превысит критический уровень, столб дыма уже не может преодолевать плотность воздуха и рассеивается.
Динамическая система есть нелинейная система с обратной связью. Основные характеристики динамических систем включают в себя чувствительную зависимость от начальных условий, критические уровни и уже знакомые нам из части 2 фрактальные размерности. Важным моментом в понимании нелинейных динамических систем является их зрительное восприятие В исследовании хаоса визуальный анализ приобретает исключительное значение, – в некоторой степени это стало уже понятным при рассмотрении фракталов.
|
