Отображение Хенона

Аттрактор Хенона (Henon, 1976) является хорошим примером двумерного итеративного отображения. Его уравнения сами по себе просты:

Когда а = +1.40 и b = 0.30, мы получаем хаотическое движение. На рис. 11.3 величины х и у представлены как временные ряды. Хаотичность движения в обоих рядах видна невооруженным глазом. Фазовые портреты переменных показаны на рис. 11.4. Эти структуры уже определенно не являются случайными. Как и в игре хаоса, кажется, что точки вырисовываются случайным образом. Возникает определенный порядок, зависящий от начальной точки, но результат всегда один: аттрактор Хенона.

Данная система имеет две степени свободы: х и у. Каждое значение х зависит от предшествующих значений х и у и каждое значение у соответственно от предшествующего х. Таким образом, значения всех переменных зависят от своих предшествующих значений. Временные ряды этих величин зависят от выбранных начальных условий. Однако не имеет значения, какая именно начальная величина использована (каким образом порождается временной ряд) – фазовый портрет всегда выглядит одинаково. Читатель может легко проверить это самостоятельно. С помощью электронной таблицы разностные уравнения легко исследуются как в одномерном, так и двумерном случае. Это можно проделать следующим образом:

1. В ячейки А1 и В1 поместить начальные величины х и у, выбранные в диапазоне значений от 0 до 1.

2. В ячейку А2 поместить следующее выражение:

1 + В1 – 1.4 * А1².

3. В ячейку В2 поместить выражение:

0.3 * А1.

4. Скопировать А1 и В2 вниз на 300 строк или более (чем больше, тем лучше).

5. Нарисовать диаграмму, используя значения в столбце А в качестве переменной т. а значения в столбце В как переменную у.

Вы получаете отображение Хенона. Измените начальные величины х и у в ячейках А1 и В1. Выполнив те же действия, что и выше, вы заметите, как изменились все значения в столбцах, но фазовая диаграмма останется прежней. Не имеет значения, какие начальные величины (или «начальные Условия») будут выбраны – график всегда остается одинаковым. Система притягивается к этой форме, которая является ее странным аттрактором.

Создадим вторую систему Хенона в столбцах D и Е, используя начальные величины для х и у, на 0.01, отличающиеся от тех, что были в столбцах А и В. Представим величины в столбцах А и D как линейные графики во времени.

На рис. 11.5 показано, как эти графики стартуют, тесно соприкасаясь друг с другом, но потом быстро расходятся. Перед нами чувствительная зависимость от начальных условий. Значения переменных х расходятся потому, что в уравнении для х значение х_t возводится в квадрат. Таким образом, начальные величины х в ячейках А1 и D1, несмотря на то, что они отличаются всего лишь на 0.01, будут расходиться при каждой итерации на 0.01 в квадрате и через обратную связь непосредственно отражаться на х и далее опосредованно, через каждые две итерации, – на у.

Если увеличить часть отображения Хенона (аттрактор), то станет видно больше деталей; чем больше будет увеличение, тем больше обнаружится деталей. Это отображение, как и большинство хаотических аттракторов, является фракталом. Подсчет методом оконного скейлинга дает фрактальную размерность этого аттрактора, равную 1.26. Это больше, чем кривая и меньше, чем плоскость, – подобно временному ряду рыночных прибылей.

Когда уравнения известны, можно выполнять численные эксперименты, как это было сделано выше со вторым столбцом чисел. Предположим, что мы хотим предсказать х на 30 итераций в будущее. Наша оценка текущих условий составляет около 0.01, поскольку на дисплее отображается только один десятичный знак. На рис. 11.5 показано, какова может быть ошибка предсказания, если оценка текущих условий немного отличается. Отклонение в точности предсказания может быть при этом весьма существенным. На рис. 11.5 начальные величины х и у составляют в действительности соответственно 0.11, 0.10, вместо 0.10, 0.10. После 30 итераций в результате этой десятипроцентной ошибки в оценке х предсказание составляет – 0.17, в то время как действительная величина равна 0.45. Небольшая ошибка в измерении текущих условий становится большой ошибкой в предсказании. (Сохраните эти данные в электронной таблице для использования в гл. 12.)

Численные эксперименты, подобные тому, что мы выполнили с уравнением Хенона, весьма поучительны. Они помогают нам почувствовать движение в нелинейных системах посредством такого эмпирического тестирования. Однако чистому математику это ничего не доказывает. Такого рода математический эксперимент не был бы им даже одобрен. Для чистого математика проблема является решенной только тогда, когда она решена для общего случая.

Многие нелинейные системы решены в классическом смысле (подобно тому как было доказано существование числа Фейгенбаума – см. гл. 10), но многие другие такого решения не имеют. Отображение Хенона остается «требующим доказательства». Для практиков, не требующих математического доказательства, численные эксперименты представляют собой «подручный» способ рассмотрения нелинейных систем, путь интуитивного постижения их, осознания необходимости преодоления хаоса. Я призываю вас экспериментировать. Лабораторией хаоса становится компьютер. Изменяйте параметры и изучайте результаты. Создавайте свои собственные аттракторы. Современные компьютеры дают возможность видеть то, что Пуанкаре мог только вообразить.