|
Отображение Хенона может быть представлено как двумерная система в электронной таблице. Отображением, демонстрирующим другой тип поведения, является так называемое логистическое уравнение с задержкой:
где Xt – переменная, а – константа.
Логистическое уравнение с задержкой интересно тем, что демонстрирует поведение, именуемое бифуркацией Хопфа, т. е. переходом от точечного аттрактора к предельному циклу. В логистическом уравнении с задержкой текущая величина х зависит от двух предшествующих значений х, в то время как в простом логистическом уравнении она зависит только от одного предшествующего периода.
Выполним построение в электронной таблице, подобно тому, как это было сделано для аттрактора Хенона:
1. В ячейку А1 поместить константу а. Начать с величины 1.50.
2. В ячейки В1 и В2 поместить начальное значение х = 0.10.
3. В ячейку В3 поместить следующее уравнение:
$А$1 * В2 * (1 – В1).
4. Копировать ячейку В3 вниз на 300 или более строк.
5. В ячейку С1 вставить «+В2» (величину в В2), с тем, чтобы столбец C стал столбцом B, сдвинутым на одно наблюдение. Копировать С1 вниз на то же количество строк, что содержится в столбце В.
6. Построить график, взяв столбец В в качестве х, а столбец С в качестве у. Иметь дело с таким графиком предпочтительнее, чем с символами.
На графике вы увидите спиральную кривую с конечной точкой. Это классический точечный аттрактор. Если увеличивать константу (а) в ячейке А1, то эта спираль будет становиться все шире и шире. Когда константа (а) превысит критическую величину, равную 2.58, график примет форму овала. Теперь аттрактором стал предельный цикл. Переход такого рода называется бифуркацией Хопфа.
|
