Показатели Ляпунова

Банковский Форекс. На рынке – с 1996 года. До 2016 года обслуживание всех клиентов осуществлялось от лица банка с лицензией Банка России (АО «Нефтепромбанк»). В начале 2016 года был проведен ребрендинг и перевод обслуживания частных клиентов в международную компанию NPBFX Limited с лицензией IFSC. В банке продолжается обслуживание корпоративных клиентов.

Мы отметили, что важной характеристикой хаотических систем является «чувствительная зависимость от начальных Условий». Существуют два пути рассмотрения этой концепции. В первом случае придается особое значение трудности проблемы. Конструктору модели известны точные уравнения движения, но соответствующая им точность предсказаний зависит от качества входов. И чем дальше мы продвигаемся, тем менее точными становятся наши предсказания. Эта классическая проблема моделирования обусловлена природой нелинейных систем, склонной к росту ошибок. Такова «вперед смотрящая» интерпретация чувствительной зависимости от начальных условий.

Второй способ рассмотрения исходит из того, что сама система порождает случайности вследствие разнородности процессов, и по достижении определенной точки память о начальных условиях теряется. Это «назад смотрящая» интерпретация – когда мы зависим от местонахождения. Эволюционный процесс, однако, может быть настолько сложным ввиду усиления нелинейностей, что невозможно проследить его по шагам и «разделить системную смесь». В качестве метафоры такого рода поведения можно привести конфетный автомат. Он состоит из двух механических рычагов, которые, вращаясь в котле, перемешивают рабочую массу. Предположим, что при этом на нее случайным образом падает капля краски. Эта капля будет растягиваться и образовывать складки до тех пор, пока эти борозды будут появляться в конфетной массе. Однако ввиду чувствительной зависимости от начальных условий мы никогда не сможем вернуть смесь к начальному состоянию, так как не способны восстановить начальную каплю краски.


Знаете ли Вы, что: через компанию «Just2Trade» Вы можете получить прямой доступ к мировому рынку облигаций (доступны US Treasuries, российские еврооблигации, облигации Газпрома и многие другие) с низкими комиссиями и минимальным депозитом – от $3 тыс.


Таков исторический взгляд на чрезвычайную зависимость от начальных условий. Мы никогда не сможем размотать систему с достаточной точностью, чтобы найти исходную точку.

Эти два подхода могут быть объединены в единое целое. Когда мы зависим от местонахождения, точность наших предсказаний зависит от того, насколько хорошо мы понимаем, где находимся. То или иное событие может неопределенным образом влиять на будущее, при том что система способна помнить это событие только на конечном отрезке времени.

Степень зависимости системы от начальных условий может быть измерена посредством чисел, называемых показателями Ляпунова; они являются мерой того, насколько быстро близкие орбиты разбегаются в фазовом пространстве. Существует по одному показателю Ляпунова для каждой размерности фазового пространства.

Положительный показатель Ляпунова измеряет растяжение фазового пространства, т. е. то, насколько быстро расходятся близлежащие точки. Отрицательный показатель Ляпунова измеряет сжатие – то, как долго система восстанавливает себя после испытанного возмущения. Вообразим себе недемпфированный маятник, расположенный на столе и совершающий регулярные качания. Удар по столу выбьет маятник из ритма. Однако, если не будет других возмущений, маятник войдет в свой ритм с новой амплитудой. В фазовом пространстве орбита маятника характеризуется замкнутым, или предельным, циклом. Если бы мы записали воздействие при ударе по столу, мы смогли бы увидеть расхождение орбит в широком диапазоне перед тем как устанавливается новый предельный цикл. Отрицательный показатель Ляпунова измеряет количество орбит, или время, необходимое фазовой кривой для возврата на ее аттрактор, который в данном случае есть предельный цикл.

Показатели Ляпунова позволяют классифицировать аттракторы. Точечные аттракторы всегда конвергируют к фиксированной точке. Следовательно, трехмерный точечный аттрактор характеризуется тремя отрицательными показателями Ляпунова. Все три размерности сжимаются в фиксированную точку.

Трехмерные предельные циклы имеют два отрицательных показателя и один равный нулю (0, –, –). Предельные циклы имеют две размерности, которые конвергируют одна в другую, и одну размерность, в которой не происходит изменений в относительных положениях точек. Это порождает замкнутые орбиты.

Наконец, трехмерные странные аттракторы имеют один положительный показатель, один отрицательный и один равный нулю (+, 0, –). Положительный показатель указывает на чувствительную зависимость от начальных условий, или тенденцию при малых изменениях начальных условий сильно изменять будущее поведение. Отрицательный показатель заставляет дивергирующие точки оставаться в области аттрактора. В случае странного аттрактора равновесие определяется тем. как далеко могут Дивергировать значения, прежде чем вернуться к умеренным пределам. Одно из возможных объяснений странного аттрактора на рынках капитала, например, состоит в том, что напряжение порождается психологическими или техническими факторами, но истинная стоимость возвращает цены в разумный диапазон.

Мы измеряем показатели Ляпунова в фазовом пространстве посредством измерения того, как величина сферы изменяется во времени. Если мы начинаем двигаться в трехмерном Фазовом пространстве, то сфера, заключающая в себе близлежащие точки ненамного отличающихся начальных условий, со временем становится эллипсоидом. По прошествии достаточно продолжительного времени он будет растягиваться и образовывать складки – так сильно, что его можно принять за чью-нибудь тонкую кишку. Экспоненциальная скорость роста объема сферы является мерой показателя Ляпунова. Формальное уравнение для i-го показателя Ляпунова (Li) для i-ой размерности (pi(t)) можно записать так:

Продольный размер этой сферы растет со скоростью 2Lit.

Площадь первых двух размерностей растет соответственно со скоростью 2(L1+L2)t. Объем трехмерной сферы увеличивается со скоростью 2(L1+L2+L3)t. Для более высоких размерностей выражение для роста записывается аналогичным образом.

Уолф и др. (Wolf, et al., 1985) опубликовали на Фортране программу расчета всего спектра показателей Ляпунова для случая, когда известны уравнения движения. С помощью этой программы были найдены показатели Ляпунова для аттрактора Хенона: 0.42, –1.6 бит на итерацию при а = –1.4, b = 0.30.

Этот результат означает, что мы теряем 0.42 бита предсказательной мощности при каждой итерации. Следовательно, если мы измеряем текущие условия с точностью до 2 битов, то потеряем всю предсказательную мощность при движении во времени за 4.8 итерации (4.8 = 2/0.42).

Что мы понимаем под «битами информации»? Показатели Ляпунова были изначально предназначены для теории информации Шеннона (1963). Теория информации использовалась для измерения эффективности компьютеров. Поскольку большинство компьютеров – цифровые, вводимые данные записываются и хранятся в памяти в бинарном формате (в виде нулей и единиц). Эти бинарные цифры называются битами. Именно ввиду их бинарности уравнение (11.3) использует логарифм по основанию 2, а не натуральный. Шеннон развил теорию связи для измерения неопределености получения корректного сообщения. Он использовал термодинамическую концепцию энтропии и измерял энтропию в битах. Чем больше битов информации поступает в систему, тем выше энтропия, или неопределенность системы. Я предпочитаю использовать не энтропию, а предсказательную способность – она более релевантна при анализе рынков капитала.

«Биты точности» являются мерой нашего знания о текущих условиях. Предположим, что наибольший положительный показатель Ляпунова был 0.05 бит в день (во временных рядах мы используем «биты/день» или «биты/месяц» чаще, чем «биты/итерация» или «биты/орбита»). Это означает, что мы теряем 0.05 бит предсказательной мощности ежедневно при движении вперед. Следовательно, если мы можем измерить текущие условия с точностью до одного бита, то эта информация станет бесполезной после 1/0.05, или 20 дней. Если бы мы знали точно, какой собирается быть прибыль сегодняшнего фондового рынка, мы имели бы 0% точности предсказания прибыли через 20 дней. С другой стороны, воздействие одного бита информации диссипирует через 20 дней, и система далее не помнит его.

Известно, что наибольшие показатели Ляпунова говорят нам о том, насколько относительны наши предсказания на будущий период времени. Можно оценить надежность только такой системы, уравнения движения которой известны. Но в реальной жизни мы никогда не знаем всех переменных, с определенностью включенных в систему, и опираемся только на уравнения движения.

В следующей главе мы применим эти идеи о конструкции и анализе фазового пространства к временным рядам.

Содержание Далее

Перейти на Главную страницу сайта